微定位系统^[1-2]能实现高精度定位，在纳米技术、微机电系统、精密仪器、生物工程等领域^[3-6]有广泛需求。柔性铰链^[7-8]和压电陶瓷^[9]的使用使得微定位系统具备了高精度、高寿命、可集成等优点，从而为其广泛应用提供了技术上的保障。为了满足广泛的应用需求以及高性能的设计要求，需要进一步探究更高效的设计方法^[10]。

传统的机械系统设计方法多是模块化设计，先按照经验对各模块进行逐一设计，然后进行整合，并进行整体校核，若不满足要求，返回到模块设计阶段，如此循环。随着优化设计方法的不断成熟，包括拓扑优化设计^[11]、结构优化设计^[12]和参数优化设计^[13]等都取得了良好效果。以互能与应变能的线性组合为目标的拓扑优化将柔性结构的结构、形状和尺寸的优化统一起来。但多数优化设计的对象仍然为系统中的结构部分，而非系统本身，并且所得优化结果也仅是结构上的最优解，最终各部分最优解的组合无法保证系统的整体性能最优。

作者尝试在系统层次上对微定位系统进行参数优化设计，并以系统性能为优化目标。由于分辨率和最大输出位移是微定位系统互相矛盾的两个关键性能指标，因此提出一种面向矛盾目标的协调优化设计方法。首先，求解了该系统结构部分的正解表达式，并由此求得了其分辨率和最大输出位移的参数表达式；然后，结合实际情况建立相应的优化模型，并针对该优化模型提出了优化算法；最后，以一种微夹持系统为例对该方法进行了验证。

1 微夹持系统结构部分正解模型

以一种微夹持系统为研究对象，为求解系统分辨率和最大输出位移的参数表达式，需先求解其结构部分在驱动力作用下的输入点位移与输出点位移之间的关系表达式，即结构正解。先应用柔度矩阵法分别求解驱动力与输入点位移之间的关系式和驱动力与输出点位移之间的关系式，再通过联立两者求得结构正解。

1.1 微夹持系统模型与单元划分

如图1所示，微夹持器采用了左右对称结构，两侧都由压电陶瓷驱动，其输出运动经由弹性移动副、弹性转动副和连接梁，传递到夹持手，从而完成夹持动作。

为应用柔度矩阵法求解，将该结构进行单元划分，其中，单元编号为1～9，各点编号为A～M，并将单元3和7视为刚体，如图2所示。

1.2 驱动力与输出点I位移关系

文献[14]中给出了驱动力 ${{F}}_{\rm{E}}^{\rm{w}}$ 与输出点I位移关系式的求解过程，如式（1）所示：

$^7{{U}}_{\rm{I}}^7 = {{{C}}_{\rm{I}}}(^3{{F}}_{\rm{E}}^{\rm{w}})$

(1)

式中：

$ {{C}}_{\rm{I}}=\left({{C}}_{\rm{A}}\right)^{-1} {{C}}_{\rm{B}}, $

$\begin{aligned} {{{C}}_{\rm{A}}} =\; & {{{R}}_{67}}{{V}}_{{\rm{HI}}}^6{[{{{C}}_{456}} + {{{R}}_{36}}{{P}}_{{\rm{EH}}}^3{{{C}}_{12}}{({{{R}}_{36}}{{V}}_{{\rm{EH}}}^3)^{ - 1}}]^{ - 1}} {({{{R}}_{67}}{{P}}_{{\rm{HI}}}^6)^{ - 1}} +\\ & {{{R}}_{87}}{{V}}_{{\rm{JI}}}^8{({{{C}}_{89}})^{ - 1}}{({{{R}}_{{\rm{87}}}}{{P}}_{{\rm{JI}}}^8)^{ - 1}}, \end{aligned}$

$ {{C}_{\rm{B}}} =\;{{R}_{67}}{V}_{{\rm{HI}}}^6{[{{C}_{456}} + {{R}_{36}}{P}_{{\rm{EH}}}^3{{C}_{12}}{({{R}_{36}}{V}_{{\rm{EH}}}^3)^{ - 1}}]^{ - 1}} {{R}_{36}}{P}_{{\rm{EH}}}^3{{C}_{12}}, $

$\begin{aligned} {{C}_{12}} =\;& \{ {V}_{{\rm{BE}}}^1{({{C}_1})^{ - 1}}{({P}_{{\rm{BE}}}^1)^{ - 1}} + \\ &{{R}_{23}}({V}_{{\rm{CE}}}^2){({{C}_2})^{ - 1}}{[{{R}_{23}}({P}_{{\rm{CE}}}^2)]^{ - 1}}{\} ^{ - 1}}, \end{aligned}$

${{{C}}_{456}} = ({{{R}}_{46}}{{P}}_{{\rm{FH}}}^{\rm{4}}) \otimes {{{C}}_4} + ({{{R}}_{56}}{{P}}_{{\rm{GH}}}^5) \otimes {{{C}}_5} + {{{C}}_6},$

${{{C}}_{89}} = ({{{R}}_{98}}{{P}}_{{\rm{KJ}}}^9) \otimes {{{C}}_9} + {{{C}}_8}{\text{。}}$

1.3 驱动力与输入点M位移关系式求解

同样地，采用柔度矩阵法求解，并采用文献[14]中的符号定义规则。首先，分别求解支链1、2和9–4末端力与末端位移关系式；然后，通过对刚体单元3分析得到力平衡关系式和位移协调关系式；最后，联立上述关系式求得驱动力 ${{F}}_{\rm{E}}^{\rm{w}}$ 和输入点M位移关系式。

对支链9–4分析，建立如图3所示的坐标系，根据文献[15]中的方法，得到该支链末端位移与末端力关系：

${}^4{{U}}_{\rm{E}}^4 = {{{C}}_{9 - 4}}\left( {{}^4{{F}}_{\rm{E}}^{34}} \right)$

(2)

式中：

$\begin{aligned} {{{C}}_{9 - 4}} =\; & {{{T}}_9} \otimes {{{C}}_9} + {{{T}}_8} \otimes {{{C}}_8} +{{{T}}_6} \otimes {{{C}}_6} + \\ & {{{T}}_5} \otimes {{{C}}_5} + {{{C}}_4}, \end{aligned}$

$\begin{aligned} & {{ T}_9} = {{ R}_{94}}{ P}_{{\rm{KE}}}^9,{{ T}_8} = {{ R}_{84}}{ P}_{{\rm{JE}}}^8,\\ & {{ T}_6} = {{ R}_{64}}{ P}_{{\rm{GE}}}^6,{{ T}_5} = {{ R}_{54}}{ P}_{{\rm{FE}}}^5 {\text{。}} \end{aligned}$

对单元1建立如图4所示的坐标系，可得该单元末端力与末端位移关系：

${}^1{{U}}_{\rm{B}}^1 = {{{C}}_1}\left( {{}^1{{F}}_{\rm{B}}^{31}} \right)$

(3)

对单元2建立如图5所示的坐标系，可得该单元末端力与末端位移关系：

${}^2{{U}}_{\rm{C}}^2 = {{{C}}_2}\left( {{}^2{{F}}_{\rm{C}}^{32}} \right)$

(4)

对刚性单元3及周围相连单元建立坐标系如图6所示，由力平衡原理可得：

${}^3{{F}}_{\rm{E}}^{13} + {}^3{{F}}_{\rm{E}}^{23} + {}^3{{F}}_{\rm{E}}^{43} + {}^3{{F}}_{\rm{E}}^{\rm{w}} = 0\text{。}$

根据刚体运动与受力规律，可得刚体单元3上力或位移的关系：

${}^3{{F}}_{\rm{E}}^{13} = - {{{R}}_{13}}{{V}}_{{\rm{BE}}}^1\left( {{}^1{{F}}_{\rm B}^{31}} \right),{}^3{{F}}_{\rm{E}}^{23} = - {{{R}}_{23}}{{V}}_{{\rm{CE}}}^2\left( {{}^2{{F}}_{\rm C}^{32}} \right), $

${}^3{{F}}_{\rm{E}}^{43} = - {{{R}}_{43}}\left( {{}^4{{F}}_{\rm{E}}^{{\rm{34}}}} \right), {}^1{{U}}_{\rm B}^{1} = {{{R}}_{31}}{{P}}_{{\rm{MB}}}^3\left( {{}^3{{U}}_{\rm{M}}^3} \right), $

$ {}^2{{U}}_{\rm C}^{2} = {{{R}}_{32}}{{P}}_{{\rm{MC}}}^3\left( {{}^3{{U}}_{\rm{M}}^3} \right), {}^4{{U}}_{\rm E}^{4} = {{{R}}_{34}}{{P}}_{{\rm{ME}}}^3\left( {{}^3{{U}}_{\rm{M}}^3} \right)\text{。}$

求解驱动力 ${{F}}_{\rm{E}}^{\rm{w}}$ 和输入点M位移关系：

${}^3{{F}}_{\rm{E}}^{\rm{w}} = {{{K}}_{\rm{M}}}\left( {{}^3{{U}}_{\rm{M}}^{\rm{3}}} \right)$

(5)

式中，

$\begin{aligned} {{{K}}_{\rm{M}}} =\; & {{{R}}_{13}}{{V}}_{{\rm{BE}}}^{\rm{1}}{\left( {{{{C}}_1}} \right)^{ - 1}}{{{R}}_{31}}{{P}}_{{\rm{MB}}}^3 + \\ & {{{R}}_{23}}{{V}}_{{\rm{CE}}}^2{\left( {{{{C}}_2}} \right)^{ - 1}}{{{R}}_{32}}{{P}}_{{\rm{MC}}}^3 + {{{R}}_{43}}{\left( {{{{C}}_{9 - 4}}} \right)^{ - 1}}{{{R}}_{34}}{{P}}_{{\rm{ME}}}^3 \text{。} \end{aligned}$

1.4 正解关系式求解

联立式（1）和（5），可得微动机构在驱动力作用下的输入点M位移与输出点I位移间关系：

${}^7{{U}}_{\rm{I}}^{\rm{7}} = {{{C}}_{\rm{I}}}{{{K}}_{\rm{M}}}({}^3{{U}}_{\rm{M}}^3)$

(6)

式中， ${}^7{{U}}_{\rm{I}}^{\rm{7}}$ 为第1.3节坐标系7中I点位移， ${}^3{{U}}_{\rm{M}}^3$ 为第1.3节坐标系3中M点位移。

2 建立系统优化模型

为建立微夹持系统的优化模型，首先，结合实际情况选取对系统性能影响较大的系统参数作为优化变量；然后，根据各变量间的相互制约关系及设计要求建立相应的约束条件；最后，建立只含有优化变量的系统最大输出位移和分辨率的参数表达式，分别作为目标函数和约束条件函数。

2.1 优化变量的选择

微动结构的各尺寸参数中，对最大输出位移和分辨率影响最大的是柔性铰链间的相对位置，同时，考虑到使优化模型易于求解，因此，选择其边长 $l$ 和角度 $\alpha $ 作为系统结构部分的优化参数，如图7所示。

驱动器选用截面为方形的NAC系列压电陶瓷，单片厚度为2 mm。可选参数有截面边长 $w$ 和堆叠个数 $n$ ，选择它们作为系统的驱动器优化变量。根据材料力学中的弹性变形理论、应力应变理论和胡克定律，可得压电陶瓷静刚度性能为：

${k_{\rm{A}}} = 1\;000E{w^2}/(2n){\text{。}}$

式中， $E$ 为压电陶瓷有效弹性模量，取值为76.5 GPa。

由于单片压电陶瓷空载时最大位移为3.3 μm，则驱动器空载时最大位移为：

$\Delta {L_{{\rm{N}}\max }} = 3.3 \times {10^{ - 6}}n\;{\rm{ m}}{\text{。}}$

微夹持系统中的控制器选用12位的D/A转换器，则驱动器空载时最小位移为：

$\Delta {L_{{\rm{N}}\min }} = 3.3 \times {10^{ - 6}}n/{2^{12}}\;{\rm{ m}}{\text{。}}$

2.2 优化变量的约束条件

NAC系列压电陶瓷截面边长 $w$ 和堆叠个数 $n$ 的取值范围为：

$\left\{ {\begin{aligned} & {0.002 \le w \le 0.025,{\rm{ }}1\;{\rm{ }}000w \in {Z;}}\\ & {1 \le n \le 1\;{\rm{ }}000w,n \in {Z}}{\text{。}} \end{aligned}} \right.$

考虑到实际情况，对微动结构边长 $l$ 和角度 $\alpha $ 的取值设定约束为：

$\left\{ {\begin{aligned} & {0 \le l \le 0.2 (l \in{\mathbb R}),}\\ & {0 \le \alpha \le \frac{{\text{π}}}{2}(\alpha \in {\mathbb R})}{\text{。}} \end{aligned}} \right.$

同时，考虑到结构干涉和体积要求，对各参数的约束条件设置为：

$\left\{ {\begin{aligned} & {0.00{\rm{ }}5\;5 \le l\sin\; \alpha \le 0.2,}\\ & {0.00{\rm{ }}5\;5 \le l\cos\; \alpha \le 0.2}{\text{。}} \end{aligned}} \right.$

将系统分辨率作为约束条件，即

$\left| {\Delta {U_{\min }}} \right| \leq \left| {\Delta {U_{{\rm{R}}\min }}} \right|{\text{。}}$

式中， $\Delta U_{\rm{min}}$ 为系统分辨率， $\Delta U_{\rm{Rmin}}$ 为设计所要求的系统分辨率指标。

2.3 建立系统性能评价模型

压电陶瓷在特定电压驱动时的空载最大输出位移为 $\Delta {L_{\rm{N}}}$ ，压电陶瓷在特定电压驱动下，最大出力 ${F_{\rm{m}}}$ 可以近似认为发生在输出位移为0时，由此可知，

${F_{\rm{m}}} = {k_{\rm{A}}}\Delta {L_{\rm{N}}}$

(7)

式中， $k_{\rm{A}}$ 为压电陶瓷静刚度。

为获得仅含优化变量的工作位移表达式，需建立相同电压驱动下，压电陶瓷空载位移与系统I点输出位移之间的关系。对微夹持系统进行单元划分如图8所示。

为求解方便，将单元2视为刚体，对单元2受力分析可得：

${}^2F_{\rm{M}}^{12} + {}^2F_{\rm{M}}^{32} = 0$

(8)

对压电陶瓷施加一定电压，则驱动器单元1的输出力为：

${}^2F_{\rm{M}}^{12} = {F_{\rm{m}}} - {k_{\rm{A}}}\Delta {L_{\rm{M}}}$

(9)

式中， $F_{\rm{m}}$ 为该电压下压电陶瓷最大出力， $\Delta L_{\rm{M}}$ 为该电压驱动下结构上点M位移量。

由第1.3节的求解结果可知，结构单元3的点M输入位移与输入力之间的关系矩阵为 ${{K}}_{\rm{M}}$ ，则在 $y_2$ 方向上力与位移之间的关系 $k_{\rm{M22}}$ 满足：

${}^2F_{\rm{M}}^{{\rm{23}}} = {k_{{\rm{M}}22}}\Delta {L_{\rm{M}}}$

(10)

联立式（7）～（10），则在该电压驱动下压电陶瓷空载位移 $\Delta L_{\rm{N}}$ 与系统M点输出位移 $\Delta L_{\rm{M}}$ 之间的关系为：

$\Delta {L_{\rm{M}}} = \frac{{{k_{\rm{A}}}}}{{{k_{\rm{A}}} + {k_{{\rm{M22}}}}}}\Delta {L_{\rm{N}}}$

(11)

联立式（6）和（11），在一定电压驱动下系统I点输出位移与压电陶瓷空载位移 $\Delta L_{\rm{N}}$ 之间的关系为：

${}^7{{U}}_{\rm{I}}^{\rm{7}} = {{{C}}_{\rm{I}}}{{{K}}_{\rm{M}}}({}^3{{U}}_{\rm{M}}^3){\text{。}}$

式中， ${}^3{{U}}_{\rm{M}}^3 = {\left[ 0 \quad {\dfrac{{{k_{\rm{A}}}(\Delta {L_{\rm{N}}})}}{{{k_{\rm{A}}} + {k_{{\rm{M22}}}}}}} \quad 0 \right]^{\rm T}}$ 。

当 $\Delta L_{\rm{N}}$ 取压电陶瓷在最大驱动电压下的空载位移 $\Delta L_{\rm{Nmax}}$ 时，向量 ${}^7{{U}}_{\rm{I}}^{\rm{7}}$ 中的第2个元素为系统最大输出位移 $\Delta U_{\rm{max}}$ ，将 $\Delta U_{\rm{max}}$ 作为优化目标函数；当 $\Delta L_{\rm{N}}$ 取压电陶瓷在最小驱动电压下的空载位移 $\Delta L_{\rm{Nmin}}$ 时，向量 ${}^7{{U}}_{\rm{I}}^{\rm{7}}$ 中的第2个元素为系统最小输出位移 $\Delta U_{\rm{min}}$ ，即系统分辨率，将 $\Delta U_{\rm{min}}$ 作为约束条件函数。

3 优化模型求解

优化模型的目标函数显然为一非线性函数，其中，优化变量同时含有连续变量和离散变量，约束条件也同时含有线性约束和非线性约束，按照传统方法无法求解。

作者提出一种综合分支估界法、内点法和外点法的求解算法。设上述优化问题为 $MNP$ ，该问题的上界值为 $MNP_{\rm{up}}$ ，对应的点为 $MNP_{\rm{po}}$ ，该问题优化解中整数变量为 $x_{{\text{z}}i}$ 。为便于求解，允许整数变量有误差 $\xi $ ，则整数条件为| $x_{{\text{z}}i}-$ [ $x_{{\text{z}}i}$ ]| ≤ $\xi$ ，一般步骤为：

Step 1　以变量 $w$ 、 $n$ 、 $l$ 、 $\alpha $ 为约束条件，以 $f$ =| $\Delta U_{\rm{min}}|-$ | $\Delta U_{\rm{Rmin}}$ |为目标函数，即NP₀。任取一可行解为初始点，应用内点法求得最小值点 ${{x}}_0$ ，对应目标值为 $f$ $({{x}}_0)$ ,若 $f$ $({{x}}_0)\leq 0$ ，转到Step 2；否则为无解，求解结束。

Step 2　选取合适的 $\xi $ 值，以变量 $w$ 、 $n$ 、 $l$ 、 $\alpha $ 和 $\Delta U_{\rm{min}}$ 为约束条件，以最大输出位移 $\Delta U_{\rm{max}}$ 为优化目标，即NP₁。取 ${{x}}_0$ 为初始点，用内点法求得最小值 ${{x}}_1$ ，若所有 $x_{{\text{z}}i}$ 满足整数条件， ${{x}}_1$ 即为所求解，求解过程结束；否则，任取一不满足条件的 $x_{{\text{z}}i}$ ，按条件 $x_{{\text{z}}i}\geq [x_{{\text{z}}i}]+1 $ 和 $x_{{\text{z}}i}\leq [x_{{\text{z}}i}]$ ，将 $NP_1$ 分成两个子问题 $S\!NP_2$ 和 $S\!NP_3$ ，即 $P=$ { $S\!NP_2$ , $S\!NP_3$ }，将 ${{x}}_1$ 作为子问题求解的初始点，即 $S=$ { ${{x}}_1$ , ${{x}}_1$ }。用枚举法寻找 ${{x}}_1$ 周围满足整数条件的最小可行解，若存在，即 ${{z}}_1$ ，则使 $MNP_{\rm po}={{z}}_1$ ， $MNP_{\rm{up}}=\;$ $\Delta U_{\rm{max}}$ $({{z}}_1)$ ；否则使 $MNP_{\rm po}=\varnothing $ ， $MNP_{\rm{up}}=$ ∞，转到Step 3。

Step 3　若 $P$ 为空集， $MNP_{\rm po}$ 即为所求解，求解结束；否则假设 $P$ 中第1个元素为 $S\!NP_i$ ，最后一个元素为 $S\!NP_k$ ，取 $S\!NP_i$ ，并使 $P$ ← $P$ –{ $S\!NP_i$ }，以 $S$ 中的对应元素 $S_i$ 作为初始点，并且 $S$ ← $S$ –{ $S_i$ }，应用外点法进行求解，所得结果为 ${{x}}_i$ 。

Step 3.1　若 $\Delta U_{\rm{max}}$ $({{x}}_i)\geq $ $\;MNP_{\rm{up}}$ ，转到Step 3。

Step 3.2　若 ${{x}}_i$ 中所有 $x_{{\text{z}}i}$ 均满足整数条件，则使 $MNP_{\rm po}=\;$ $\;{{x}}_i$ ， $MNP_{\rm{up}}=\;$ $\;\Delta U_{\rm{max}}$ $({{x}}_i)$ ，转到Step 3。

Step 3.3　用枚举法寻找 ${{x}}_i$ 周围满足整数条件的最小可行解，若存在，即 ${{z}}_i$ ，且 $\Delta U_{\rm{max}}({{z}}_i)\leq MNP_{\rm{up}}$ ，则使 $MNP_{\rm{po}}={{z}}_i$ ， $MNP_{\rm{up}}=\Delta U_{\rm{max}}$ $({{z}}_i)$ 。任取一不满足条件的 $x_{{\text{z}}j}$ ，按条件 $x_{{\text{z}}j}\geq [x_{{\text{z}}j}]+1$ 和 $x_{{\text{z}}j}\leq[x_{{\text{z}}j}]$ ，将 $S\!NP_i$ 分成两个子问题 $S\!NP_{k+1}$ 和 $S\!NP_{k+2}$ ，并使 $P=$ $\;P$ ∪ $\{S\!NP_{k+1},S\!NP_{k+2}\}$ ， $S=S$ ∪ $\{{{x}}_i,{{x}}_i\}$ ，转到Step 3。

4 解析式参数分析

在优化模型中，当分辨率指标 $\Delta U_{\rm{Rmin}}$ 取不同值时，会得到不同优化结果，为得到针对不同实际要求的设计方案，以及挖掘该结构优化设计中的规律，并考虑到方便编程实现， $\Delta U_{\rm{Rmin}}$ 分别取值为–5×10^–7、–1×10^–7、–5×10^–8、–1×10^–8、–5×10^–9、–1×10^–9、–5×10^–10 m，并求解相应的最优解，所得结果如表1所示。

为了更好地表现规律，将 $\Delta U_{\rm{Rmin}}$ 取值按大小等距放在 $x$ 轴上。各优化变量优化结果与分辨率指标的关系如图9所示。

其中，图9（a）～（d）分别是结构角 $\alpha $ 、结构边长 $l$ 、压电陶瓷边长 $w$ 和压电陶瓷个数 $n$ 与分辨率指标的关系曲线。最大输出位移优化结果与分辨率指标的关系如图10所示。

由图9可知：压电陶瓷边长 $w$ 对系统分辨率和最大输出位移影响很小。当系统分辨率指标 $\Delta U_{\rm{Rmin}}$ ≥–1×10^–7 m时，随着要求的不断提高，即 $\Delta U_{\rm{Rmin}}$ 值逐渐增大时，结构角 $\alpha $ 的优化值会逐渐减小，同时，结构边长 $l$ 的优化值会逐渐增大。由图9（d）、10对比可以看出，压电陶瓷个数 $n$ 是系统最大输出位移和系统分辨率的主要影响因素，且随分辨率指标的提高而减小。

由图10可知：当 $\Delta U_{\rm{Rmin}}$ ≤–1×10^–7 m时，最大输出位移优化结果不随系统分辨率指标变化而改变，表明相对于系统分辨率约束条件，优化参数范围约束条件对优化模型具有更强的约束作用；当–1×10^–7 m≤ $\Delta U_{\rm{Rmin}}$ ≤–1×10^–9 m时，随系统分辨率指标不断提高，优化结果的最大输出位移逐渐增大，即系统分辨率约束条件对优化模型具有更强的约束作用，并在不同阶段有不同的斜率。因此为该系统设定设计要求时，要根据实际情况合理权衡系统分辨率指标和最大输出位移要求，当 $\Delta U_{\rm{Rmin}}$ ≥–5×10^–10 m时，优化模型无解，即在基于该优化模型的设计条件下，该系统的分辨率绝对值不小于5×10^–10 m。

5 结　论

针对一种微夹持系统，建立系统分辨率和最大工作位移的数学模型，并据此得到对系统整体进行参数优化的优化模型，为根据系统性能对微定位系统进行参数优化提供了一种可行思路。最后经过对优化数据分析，验证了优化模型及其求解方法的可靠性。

提出一种融合分支定界法、内点法和外点法的求解算法，为含非线性矛盾目标的优化模型求解提供了新思路。该方法以应用内点法获得的优化模型的任一可行解为搜索起点，并根据外点法的求解结果，应用分支定界法逐渐缩小最优解的搜索范围，最终求得最优解。